Loïc de Raphélis

Université d'Orléans - IDP
Bureau B1
4, rue de Chartres
45000 Orléans


- Coordonnées, curriculum vitæ, publications et enseignement. loicantispam.com.de.rapheliscache.com gmail.com


Bienvenue sur ma page personnelle !

Je suis actuellement maître de conférences en mathématiques à l'Université d'Orléans. Je m'intéresse aux processus de branchement, et plus particulièrement aux marches aléatoires en milieu aléatoire.

Voici un CV détaillé.

Publications
[4] Favorite sites of randomly biased walks on a supercritical Galton–Watson tree (2016), avec Dayue Chen et Yueyun Hu, Stochastic Processes and their Applications 128, 1525–1557.

Nous nous intéressons dans cet article aux sites favoris d'une marche aléatoire sur un arbre de Galton--Watson avec environnement aléatoire. L'ensemble des sites favoris d'une marche aléatoire... Lire la suite à un instant donné correspond aux sommets de temps local maximal, c'est-à-dire les sommets ayant été le plus visités par la marche à cet instant. Nous prouvons que l'évolution de cet ensemble suit des régimes différents selon la loi de l'environnement.
Le premier régime correspond au cas où l'environnement satisfait des hypothèses de type second moment fini. Dans ce cas, nous prouvons qu'il existe un ensemble fini de sommets de l'arbre tel que presque sûrement à partir d'un certain temps l'ensemble des sites favoris est contenu dans celui-ci. Nous prouvons également dans ce cas que presque sûrement, à partir d'un certain temps, le cardinal de l'ensemble des sites favoris est au plus 3, et que cette borne est optimale.
Le second régime correspond au cas où les hypothèses de second moment fini ne sont plus satisfaites. Nous prouvons que dans ce cas, l'ensemble des sites favoris oscillera entre le voisinage de la racine et des sommets de hauteur arbitrairement grande. Pour autant, l'ensemble des sommets qui seront sites favoris une infinité de fois est un ensemble fini (non-vide) proche de la racine. La preuve de ce second résultat repose sur l'étude des queues de distribution d'une certaine chaîne de Markov associée à la marche.


[3] Scaling limit of the random walk in random environment in the subdiffusive case (2016), prépublication.

Nous considérons ici une marche aléatoire au plus proches voisins sur un arbre de Galton–Watson en environnement aléatoire. Nous nous plaçons sous certaines conditions, sous lesquelles ... Lire la suite cette marche aléatoire présente un comportement sous-diffusif.
En employant la stratégie développée dans le précédent article, nous montrons que dans ce cas la fonction de hauteur de la marche converge vers le processus de hauteur en temps continu d'un processus de Lévy stricement stable spectralement positif. Nous établissons également la convergence jointe de la trace vers l'arbre de Lévy codé par ce même processus de hauteur.
La principale contribution de cette article réside dans la détermination de la queue de distribution d'une variable aléatoire clé, dont nous montrons qu'elle suit une loi de puissance. Pour ce faire, nous sommes amenés à étudier le processus des temps locaux d'une marche aléatoire sur un arbre de Galton–Watson en environnement aléatoire biaisé, et à le relier à la cascade multiplicative induite par l'environnement, à laquelle nous appliquons in fine le théorème de renouvellement de Kesten.


[2] Scaling limit of the recurrent biased random walk on a Galton–Watson tree (2015), avec Elie Aïdékon, Probability Theory and Related Fields 169, 643–666.

Nous considérons un arbre de Galton–Watson, et une marche aléatoire aux plus proches voisins sur cet arbre, avec un biais vers le parent. Nous prouvons dans cet article ... Lire la suite que la trace de la marche, c'est-à-dire le sous-arbre composé des sommets visités, converge en temps long après re-normalisation vers la forêt brownienne. Pour cela, nous établissons un lien explicite entre ladite trace et une certaine forêt de Galton–Watson feuillue avec longueurs d'arête (notion définie dans l'article ci-dessous).
En utilisant un principe d'invariance de la loi des arbres de Galton–Watson par permutation de sous-arbres, nous obtenons également la convergence de la fonction de hauteur de la marche (c'est-à-dire la suite des hauteurs que prend la marche dans l'arbre).
Enfin, nous étendons nos résultats au cas où l'environnement est aléatoire, sous des conditions de variance finie.


[1] Scaling limit of multitype Galton–Watson trees with infinitely many types (2014), Annales de l'Institut Henri Poincaré, Probabilités et Statistiques 53, 200–225.

Nous introduisons dans cet article une nouvelle classe d'arbres de Galton–Watson avec longueur d'arête aléatoire, les arbres de Galton–Watson feuillus avec longueurs d'arête. Cette classe d'arbre ... Lire la suite diffère des arbres de Galton–Watson simples en deux points : tout d'abord à cause des longueurs d'arêtes qui ne sont pas fixes, mais aussi car ces arbres ont deux types de sommets, certains pouvant se reproduire, et d'autres non. Considérant le processus de hauteur pondérée d'une forêt de tels arbres (c'est-à-dire la suite des hauteurs de ses sommets pris dans l'ordre lexicographique, pondérées par les longueurs d'arêtes) nous prouvons qu'après renormalisation celui-ci converge en loi vers le mouvement brownien réfléchi.
Ensuite, en nous appuyant sur ce premier résultat, nous établissons un résultat de convergence sur la fonction de hauteur d'une forêt de Galton–Watson multitype avec infinité de types.


Enseignements
À l'ENS de Lyon :

2018-2019:

2016-2018 :

À Paris 6 (service de monitorat) :

2015-2016 :

2014-2015 :

2013-2014 :